fundamentos de matemáticas universitarias pdf

1 11 0.24 Derivada de la función constante La derivada de la función constante y = f(x) = k es: Siguiendo el procedimiento descrito en la segunda sección de este capítu4 4 lo, podemos determinar que f > 0 si x > — y f < 0 si x < — , luego, f es o g) [ x — 2y + z — 3 = 0 { 4y — 8y + 4z — 12 = 0 \—2x + 4y — 2z + 6 = 0 h) ( 3* + y — 5z + 4 = 0 —x — y + z + 2 = 0 * —y — 3 z + 8 = 0 i) M A TE M A TIC A S UNIV E R SITA R IA S dz = z— dt b Operaciones elementales Cuando sobre las filas de una matriz se realiza una de las siguientes operacio nes, la matriz obtenida es equivalente a la original. 2. 1 jc 202 calcule Á 1 — 1 A+ 7/ 2 + 1 2 = 14 Un problema frecuente en matemáticas es encontrar la solución de una ecuación dada. b) Pasa por (—2, 4) y c) Pasa por (0, 3) Diofanto (325 - 409 D.C.) fue el primero en enunciar una teoría para la solución de las ecuaciones de primer grado, y también el primero en encontrar una fór mula para la solución de las ecuaciones de segundo grado. -2 x +2 INECUACIONES Dichas propiedades se enunciarán sólo en términos de mayor que, pero es necesario aclarar que también se cumplen para el caso menor que. c Consideraciones: Criterio Detalle Tiempo Duración en 90 minutos aproximado: Resultado de Al finalizar toda la unidad, el estudiante será capaz de utilizar propiedades, … El opuesto de (—a) es —(—a); ahora bien, puesto que a + (—a) = 0, se sigue que —(—ti) = a. Del mismo modo, tampoco existe dificultad alguna con los inversos mul tiplicativos de la mayor parte de los números reales. — y 2 am = (4.3) a) El cambio en el valor de *, al pasar de * x a x 2, dado por * x, se denomina incremento de x, y se representa por A* 27 Así: 14 Cuando se trabaja con funciones trigonométricas, en algunos casos es conve niente convertirlas en otras equivalentes. En la Figura 12.4 se presentan tres diferentes opciones para una función discontinua. y =1 f(x) dx 160 11. a; *>(M)= fÍ3> , 15}, |3,5},0} 1 M+ E = b) y '= 6xs —1 Así pues, 5 ! En este caso, Paso 1: Es claro que se quiere maximizar las utilidades; luego la ecuación es: U= R —C en donde U representa la utilidad, R el ingreso y C el costo. MATEM ATICAS UNIVERSITARIAS = 3 Por lo cual dedicaremos esta sección a la cons trucción y manejo de la recta numérica. 4. Dividiendo entre ■-2 la tercera fila. dx = —6.1 (solución única de x 3 + 2 Si el costo de la materia prima es el triple del costo de la mano de obra, ¿cuál es el costo de la materia prima y de la mano de obra? McGraw-Hill. -r V 126 Ejemplo de aplicación 1 7+13 10 4rf* Como se procedió en el Capítulo 6, las propiedades de las desigualdades brindan la posibilidad de mecanizar el procedimiento de solución. Paso 5: Regiones de crecimiento: máximos y mínimos Como el punto crítico x = —2 es un punto de inflexión, entonces la gráfi ca no tiene ni máximos ni mínimos. O sea que la distancia que hay entre 0 y 1, es la misma que hay entre 1 y 2, 2 y 3, etc. La diferencia a — b de dos números reales se define por la igualdad a Voy a la fiesta Calcule 4 7 ± 13 a:+ 5 > 0 o 2 4" f) g) 2 2. a) 1 ----------------------------------------------------------------------------- r—-----■.......... La ecuación de la demanda de un cierto artículo es una ecuación de la forma ap + bx = c, a,b,c, ctes. no existe; x = 2, x = —1 14 Sustracción de a en ambos miembros M A TE M A TIC A S U N IV E R S ITA R IA S 272 se cumple que: 5 entre * =» 1 y x = 3 Expresiones que se leen respectivamente: límite cuando «tiende a 2 por la derecha de f(x) igual a “ más infinito” y límite cuando x tiende a 2 por la iz quierda igual a “ menos infinito” . M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S > 3 = In a — Inb 5,752,000 e) Al vender 10,000 unidades, ¿cuál es la utilidad promedio y cuál es la utilidad marginal? Representación geométrica de los números reales L y B = _b 263 13 11 < SA 8V 3~ En esta sección trataremos ciertos métodos de factorización ele mentales y directos, y algunos teoremas menos usuales. c) K 0 279 El último número del renglón 3 en este caso —5, es el residuo de la divi sión. ( - 9 , - 4 ) U ( l , 3) Una función exponencial es una función de la forma f(x) = ax , con a > 0 y x en los reales. ix + 2 / 2 3 1 1 \ 1 \ 1 \l = ( Ejemplo 7 (x2 + 5y) (x2 — 7 m) = (x2)2 + (5y - 7m)x2 + (5y ■ - 7 m) = x4 + (5y — 7m)x2 — 35ym = je4 + 5 x 2y — 7 x 2m — 35ym Sugerencia: antes de continuar, se recomienda realizar los ejercicios al final del capítulo relacionados con los temas vistos. 100 e) f) g) E (x + 2)4 d) y ——x —18 G -x2 10.7 Funciones implícitas —3 < 1 Ax x + Ay —9= 0 . 2 ^/w b) x? 12.13 Figura 10.1 La relación y = ± y/HT x 3, Podemos definir entonces, que para cualquier número real x distinto de cero se tiene que (5.8) Considere la siguiente definición para los casos donde los exponentes son enteros negativos: c 23 dt dy _ — 8 El banco compone el interés continuamente. M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S y = —*2 d) y 1 — 3 Ejemplo 8 Resuelva ||3 — a |— 12 1< 6 entonces —5 WebLa matemática aplicada —también matemáticas aplicadas— se refiere a aquellos métodos y herramientas matemáticos que pueden ser utilizados en el análisis o resolución de … 0.548811 10.2 Producto cartesiano — 13 jc2 + 20 jc+ 288 13JC2 + 52jc 72 jc+ 288 —72 jc— 288 0 luego 3JC3 |y = 1 — * |y = x 2 + 2x — 3 M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S Fundamentos de matemáticas con cálculo. 31 Recuerde que utilizamos el símbolo °° para representar una cantidad m u y grande. ay2 + y 3 = 5 + x 3 dy Es claro que para calcular —— necesitamos un procedimiento en el que dx no tengamos que despejar “ y ” ; éste se denomina “ Derivación implícita” . 2y = 3 \ / 2 — * Observe que O3 = 0 8. Esto significa que si una desigualdad se divide por un número positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene. Enter the email … ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la produc ción total? Donde el índice es un número impar entonces, si la cantidad subradical es positiva la raíz es positiva, y en donde la cantidad subradical es nega tiva la raíz es negativa. n -1 1x de R$ 329,00 À vista. En el caso en que = Producto de matrices Sea A una matriz de tamaño mXn y B una matriz de tamaño n X fe, tal que A = ( 3 14.1 Introducción f(x) d x = 1 a A este precio, usualmente ha vendido 200 ejemplares por pies. Ejercicios y problemas 2x1 - x - 3 L im ------------------- = *+ 1 * ->■ 4 -1 y 0 du , , • — — o y ( * ) = y ( u ) - u (*) dx cosec y' 1 2 lím F(x) = 9 x->3+ Se multiplica este primer término del cociente por todos los términos del divisor. Un termómetro marca inicialmente una temperatura Ta = 18; 30 segun dos después marca una temperatura de 11°C, y 30 segundos más tarde, una temperatura de 6°C. . 3x < 3 12-1* + -1 Haría. , f xln (x/2) + 1~| y=y 2x ln (x/2) 215 SOFTWARE > Grado en Ingeniería Informática: PDF G. ING. M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S d) Consideremos la siguiente ecuación que permite encontrar la distanci recorrida por un móvil en un tiempo f. x ( t ) = 100+ 5 0 t - t J En este caso particular la razón de cambio promedio, (15-15)+ ( 3- 1 0) + (4-30) 5m2 - g - x 2»»3 _ Costo total = costos fijos + costos variables. Es decir, se puede multiplicar o dividir a ambos lados de la igualdad por el mismo número (diferente de cero) y ésta no se altera. Un día, la suma de las distancias recorridas por un Neverstart y un Everk nock fue de 91 kilómetros, y el costo total de la gasolina consumida por los dos automóviles fue de $1,620. Luego tenemos estas propiedades: R4 Los números reales tienen un elemento neutro aditivo único, el cero. Con frecuencia se les llaman “ en teros positivos” , “ cero” y “ enteros negativos” . V , entonces: dx dx Recuerde que ''*(p-+q)<=>pA'v q 5 u ±v y 2a a) Si a > 1, . c) Ejercicios y problemas dn + 19 y v = 6a:"2 + a? luego Ap - 200A* Ejemplo 5 En la siguiente ecuación de demanda 3000 83 =i-4i y/16 = -(-4 ) 4 = 4 2. +5 T Suponga que dentro de ar años, ei va lor de una caja habrá cambiado a un ritmo de 1530—20a: pesos por año y que las tasas de almacenaje permanecerán fijas a $350 pesos por caja por año. _—2 + 3 2 V5 V Ecuagtones de la circunferencia: 1. Algebra y trigonometría con geometría analítica. 23- (6 + Sia>0, 6 > 0 y a) c? J -2 Resuelva las siguiente inecuaciones: 1. a) —2 * — 6 > 0 b) 3 * + 5 > * + 7 c) El dinero depositado en cierto banco se duplica cada 10 años. ad La disyunción (V) sólo es falsa cuando las dos proposiciones son falsas, y 3. 2 ( - 2 fe a y ) 8 = (—2)8 fe8 a8 y8 = 256 fe8 a8 y 8 d) Considere la siguiente expresión: X , entonces f'(x) Pasos a seguir para solucionar un problema de máximos y mínimos: 1. 5.5 Reduzca las siguientes expresiones: a) 3a2 - 1. 131 -1 1 1 = M El signo menos (—) proviene del signo menos (—) de cada uno de los términos. , b) Resuelva la ecuación 5x — 5 = 2 x + 9 . +b4 ) (a2—ab— b2) 1 -6 1. x2 - 9 = (* + 3) (jc — 3) 2. Ax-+0 Lfm ,, In b In a x=e 5 + Ap + 10) (p + 10) -► O Algebra lineal. 2 + 3 = 19 Simplificación de fracciones i Todos los enteros son racionales 2. 3. - 1 T = 6. John Neper llegó al descubrimiento de los logaritmos, buscando un méto do que le permitiera simplificar algunos cálculos numéricos. d 22 7 -1 3 10 f Las funciones eran conocidas por los babilonios, según muestran tabli llas uniformes del Siglo 2000 A.C. Los números irracionales se atribuyen a Pitágoras (572-497 A.C.), quien estableció la relación entre los catetos dé un triángulo y su hipotenusa en su famoso teorema. En el momento en que la distancia entre el aeropuerto y el avión es de 300 km, ¿cómo está cambiando esta distancia? Figura 11.4 Función logaritmo natural. * -*■ 4 remplazando * 10 a = Podemos generalizar que para eliminar los radicales de índice 2 de una expresión con dos términos, multiplicamos por la conjugada.16 Además de ser utilizado para eliminar los radicales, este procedimiento es de gran im portancia en las aplicaciones que se puedan realizar más adelante. Llamamos a F(x) una antiderivada de f(x).3* 26 12,5 2(1) * = 2 ± V 4 + 192 Si esta evaporación se produce a una velocidad proporcional al área de la super ficie (s = 477r2) de la gota, pruebe que el radio se contrae a velocidad constante. 8* 267 Por lo que al cabo de n horas, la población total será: > , « 100,000 ( 1 + ^ ) “ luego, al cabo de n períodos de tiempo, una población de p individuos, que crece a una rata de r % , se convertirá en: 305 f = (x2 + 2x —1) e* 3. Gráficamente, + 12jc2 + 12* entonces grados = y'",f'"(x), f + ( 4 X 8 ) b) 2 X ( * + y ) = 2 x + 2y c) ER-F-004. Y_ -7 -4 a 1 El símbolo a-1 se usa con cierta frecuencia a cambio de — luego entonces a (5.9) - 3(2>‘ - Esta desigualdad significa, geomé tricamente, que x está a más de una unidad del origen a la derecha o a la iz quierda, como aparece eq la Figura 8.9. 12 3. Concluimos que el método para resolver inecuaciones es muy semejante al empleado para resolver ecuaciones. x2 — 9 ALG EBRA BASICA 59 Ax r x . - 1 7 |< 6 (6.3) WebCinquecento. luego [4,6] n [3,8) = [3,6] entonces t - f , 5 ]U [3,6] 1 (a: + 1). + a 21 Inversa de una matriz Es claro que un factor de Q(a:) es tambiénun factor de P(x), por tanto una raíz de Q(x) es también una raíz de P(x). 1 1 2 4. Halle la ecuación de una recta tangente a la curva y = x 3 y paralela a la recta 3x — y + 1 = 0. Lím f(x) ± Lím g(x) = A 'B x-* a x -+ a (1 + x) (2JC2 + 1) dx jc [2jc2 ]= ¡ d e = / (10 * 3 + 6 0 *2 + 5 0 * - 2 0 0 ) d x 10 * 4 c = ----- — 4 c = V Observe que independientemente del método que se use, el objetivo de todos los métodos es obtener una ecuación de una variable cuya solución es muy sencilla. a 2i -----2 266 P = 2 8 -* 0 2 (—10) a í n \ - 1 2 1 2 3 ------- ^ 1 0 ,0 0 0 ^ * — 5x + 6. f ( x más que el segundo. m i = esto es, C, = Si el interés se pagara cuatro veces al año (trimestralmente), el saldo al final zar el año será: Ejemplo 5 2 jc2 Se han representado sobre un mismo gráfico los dos intervalos con “ tra zos” diferentes. 2 e) d) [ I ’ ’ 13] dx 55 0 . Al finalizar el presente capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. Figura 3.9 El plano cartesiano. Derivada de la suma y diferencia Si y es la suiría (diferencia) de dos funciones, com o y = f(x) ± g{x), enton ces la derivada de esta suma (diferencia) es 13+ R E S P U E S TA S Ejemplo 6 Sea P (* )= 12a3 + 33a2 Cuando se trabaja con distribuciones de probabilidad continua, la probabili dad se interpreta com o un área, por esta razón calcular probabilidades es equivalente a calcular áreas. + y) = eos x eos y — sen x sen y 8 Ejemplo 15 Calcule Lím x -*■ —1 Si a, b y c representan números reales, y si a = b, entonces: i. 4. U (10,000) = dy fi TV •¿7~==v ( í + ~ ) —4, siparaf = l , y = 0 ; í > Teorema Si P(x) = a0 + ai x + a2x? ^ q Vr P2 : p-> r q : En este caso es esencial notar que ^ q V r e s equivalente a q ->• r. Por tanto (p -*■ a) A ( ^ q V r ) puede ser escrito com o (p -*• q) A ~ q V r por tanto p -> r, que era lo que queríamos concluir. jc 2 En este capítulo nos ocuparemos, en particular, de las expresiones alge braicas, de los polinomios y de las operaciones fundamentales entre ellos. 257 En una fábrica se producen dos artículos diferentes que se venden a $3,200 y $4,500, respectivamente. Luego se cumple que A + B = B + A. 0 Ejemplos 3 x _2+1 a) Encuentre una ecuación que relacione el número de artículos en bodega, en término del número de días de venta. x = — 2, x = 2 1 Un subconjunto del producto cartesiano AXB es una relación r de A en B. Las parejas orde nadas de dicho subconjunto satisfacen la con dición dada por r. El conjunto de todos los primeros componentes de una relación, que pertenece a A, se llama dominio. * 2y x+ y Calcule A + B y A ‘ B 4. ¿A qué ritmo está creciendo el ingreso mensual por publicidad? Para ello se escoge un valor cualquiera de * por ejemplo 0, y después se remplaza en la ecuación dada para calcular el correspondienté valor de y, ásf: y =3(0)+2 y = 0+ 2 y = 2 De manera similar podríamos comprobar que, efectivamente, (—2 , — 4), (—1, —1), etc. + 1 2 = ir = p (* + A x ) - p ( x ) = 30,000 + 200 (x + Ax) - [30,000 + 200*] = 200* + 200A* — 200* convexa arriba |jr | = | 2 -9 | X - (°~^)y(~ c) fila 3 Paso 6: Asíntotas Como dijimos anteriormente, una asíntota es una recta37 a la que una grá fica se aproxima para ciertos valores. x* M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S Demostración: Como a # 5, entonces a — b ¥= 0; luego, por la Propiedad 7, (a — ó)2 > 0, por lo que a2 — 2ab + ó2 > 0 y a2 + 62 > 2aÓ. — 0.2833 5 df dx 0 21. año 2095 aprox. b) Nombre un conjunto en el cual la sustracción sea una operación bi naria. 6x2 + 3 5(2x + 3x) / 1\ El producto cartesiano de M y N es M X N = Matriz identidad: Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal son iguales a 1. ** + y 3j:+ yac2 + y 5 = —1 Related Papers. Mediante las operaciones justificadas en la sección sobre Propiedades Fundamentales de este capítulo, converti mos la inecuación dada en una serie de inecuaciones equivalentes hasta ob tener la respuesta en la última. Ct = 150,000 (1 + 0.045 )20 Ct = 361,757.10 Si el interés se capitalizara continuamente, el saldo total al final del año vendría dado por la expresión. 26 * Resolviendo se obtiene: 1 (b Xe) Por tanto 50 panes integrales producidos en el sur tienen un costo de $274 y en el centro de $375, mientras que 50 panes tipo francés se pro ducen a un costo de $266 en el sur y $350 en el centro. Definimos el ingreso R como el precio por unidad multiplicado por la cantidad de unidades demandadas, esto es, 1 1 2 j - , - - 3 jc 3 / "l =0 b) CT = 4.32674871 C b) P (30) = 91,1 millones p - ’-q RESPUESTAS p - ’-q Como el residuo es —4 ¥= 0, —1 no es raíz. (* + 5)_______ g) e) vTT 9 q u e Se resuelve una de las ecuaciones para una de las variables en términos de la otra y se sustituye la variable por esta expresión en la otra ecuación. mientras que v (—9>5 = >/m 42 3 - 1 ) 3. ac + be + ad + bd = (ac + be) + (ad + bd) = c(a + ó) + d(a + &) = (c + d) (a + 6) 4. M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S < 1 v» i) Ll M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S : y/7 - — b d) Sea e el idéntico, luego V o, a * e = e * a = a, Como * es conmutativa, a * e = e * a, entonces, si e es el idéntico, 1 dy : — =12 punto de inflexión 2x - 5y - 19 = 0 3x -i- 4y + 6 = 0 Observe que aunque no nos dan la pendiente, podemos calcularla y luego usar la ecuación punto-pendiente para determinar la ecuación de la recta. ( V ¿ + x ) 2 - ( V 5 -)2 (1 + x)4 = Introducción J _ V 5 A P L IC A C IO N E S D E L A D E R IV A D A Observe que se debe excluir a —3 del dominio de la función ya que este valor la indetermina. y =x+■ Lím jc Son ecuaciones cuadráticas o de segundo grado: a:2 + 5a: + 6 = 0 a? d) ( 0 , 5 ) y ( - | - , l ) 2. ¿Cuántos empaques necesita fabricar para que se justifique su decisión? '' 6. i a) (60,190) b) (30,200) c) (40,1229.98) 4 6. _5_ f M A T R IC E S V3 = —x 2 + x — 6 ( g - ñ ( ~ 1)= - ( - l ) 2 + (—1) — 6 = —8 c) (f'g)(x) = f(x) •g(x) = (x2 + 1) ( * - 5 ) = x 3 — 5x2 + x — 5 (f'g) (n/2) = (V 2 )3 - 5 (V 2 )2 + V I - 5 = 2 n/ 2 ' - 1 0 + = 3 ^ 2 -1 5 \ 8 / 2. V La primera eliminación (de *) produce el sistema 3y - 3z + 7 = 0 3y — 3z + 7 = 0 Es decir, el sistema obtenido es realmente una única ecuación: 3y — 3z + 7 = 0 que com o dijimos anteriormente tiene infinitas soluciones. 0 1 JC2 — JC+ 1 X 3 + 1 x~ ñ Generalizando, se tiene que para encontrar el cociente de dos potencias de igual base, se eleva dicha basé a una potencia igual a la diferencia de los exponentes; esto es:_____ = a" jc -»■ 3“ (x? Lím f(x) x -*■ 1 En el ejemplo anterior mostramos cóm o, mediante las operaciones ele mentales, la matriz A se transforma en la matriz equivalente. Como se observa en la gráfica anterior entre 0 y 1, la función y = x 3 se en cuentra situada por encima de la función y - 3 x2 —- 2x, pero en él intervalo de 1 a 2 la situación es contraria, luego el área viene dada por: A 376 Y‘ 1 a6 —y 6 10.8 0 La operación tiene que estar definida para todos los pares (a, b), donde a y b son elementos de S. 3. 13. Compare este costo medio mínimo con el costo medio cuando se pro ducen 400 unidades. Ejemplo 9 Un tanque cónico tiene 10 m de diámetro y 16 m de altura. * ) (* — 8) > 0 2 — X 3 i JC4 La teoría se tratará en el siguiente ejemplo. ALGEBRA BASICA 61 Al cabo de la primera hor¡ la población total será: Pt = 100,000 + 100,000 • ¡(0.4)+ (-2 .0 ) ¡ = _ 4 * 36Con el ánimo de facilitar la solución de la inecuación f ' ( x) > 0, es mejor no can celar el factor x + 2 en esta expresión. f(X) ( x —y = 1 y+ z = 4 y 2 + xz = 7 ^ = -12 yz = —4 *z=3 Como una extensión más, tenemos lo siguiente: cualquier sucesión de adiciones y sustracciones, com o a — 6 + e + e — f — g, se define igual a la suma a + (—6) + c + e + (—f) + ( - # ) = (a + c + e) — (b + f + g) así, M A T E M A T IC A S U N IV E R S ITA R IA S 1 1 b 12 b22 f e os u du-= sen u + C 29Formalmente podemos definir el límite de una función así: el límite de f{x) cuan do x tiende a a es igual a L, si para todo e > 0 existe algún 9 > 0, tal que para todo x, si 0 < Ix — a I< 9, entonces If (x) — L I< e . 4 / : ' VrVq 207 120.000 = — costo materia prima Caso 3: Donde una cantidad es igual a una cantidad dada más o menos algo. M A TEM A TIC A S U N IV ER S ITA R IA S Luego, Lím f(x) x-+ 2* f j x _1 dx = -2 Introducción: cada día cobra mayor importancia que los dirigentes conozcan los fundamentos teóricos que explican las razones que impulsan a los trabajadores a conseguir una meta u objetivo.Objetivo: reconocer las bases conceptuales de cada una de las categorías que serán tratadas en este artículo: desarrollo organizacional, cultura … mX Centro en (fe, fe), longitud del eje mayor, 2o; longitud del eje menor, 26. a) Eje mayor, paralelo al eje X (x -h f f f El método consiste en reducir la matriz original a una matriz equivaleiite, pero más sencilla. V Un comerciante ha comprado varias cajas de Cierto vino importado. luego debemos derivar como tal, así: / 0. = 0.125+ 0.3103 = 0.4353 14.7 Utilizando el concepto de matriz inversa solucione: a) 2x + y — z = — 3 2y+‘ = — 3) + 3 = Que 'v r -> 'v q sea equivalente a q -*■ r es el paso esencial de la demostración. V~9 = 1 0 0 0 -1 0 3 1 .2 5 . Ejemplo (»-* • — 5m2 + x r'rn j 7 No siempre las ecuaciones lineales y /o cuadráticas presentan la forma están dar ax + b = 0 ó ax2 + b x + c = 0, sino que en muchas ocasiones éstas ini cialmente presentan otras formas con fracciones, radicales, etc. . El conjunto {1, 2, 3, 4 ,. y ) = a2 • x 2** • y 3+t = a2x 6 y4 Luego -|-a2* V 1 --- En forma general, entonces a + ó es el conjugado d ea — b, y a — b es el conjugado de a + b. : dy dt (—«» b) = 2 * 0 = ( 2 + 0) + ( 2 X 0 ) = 2+ 0 = 2 e) Si existen los inversos, V a, 3 a -1 / a * —1 y jc < 1 o lo que es lo mismo, —1 < x < 1. + H ALGEBRA BASICA 65 2 -4 +6 3.2 2. du (sec u) = sec u tang u -----d¿ dx d ¿Es * asociativa enffi? 4¿c + 7 b) Considere los siguientes casos: i. 3 L 16 T *+ T 4x2 + 3x e) ( t ) 1- 1 — 1 = ----- .luego x 7 Véase Plano Cartesiano, en el presente capítulo. “ 1/ 2 1 -6 y Existe al menos un número que no es racional 2. Sin embargo, existen procesos que permiten trabajar directamente con las funciones implícitas (derivación implícita, por ejemplo)23, sin tener que obtener la función explícita. WebFundamentos de Matemática. E C U AC IO N ES Negación de cuantificadores en proposiciones cuantificadas: ^ ( Y a c , jc ) «-*• 3 ^ a —6 c) A 4 2 9 _ 8.5 y " = 2* (Ín2)2 Ejemplos ka 1 ) ----' kb Swokowski. X Al descomponer en factores (factorizar) pretendemos deshacer el proceso de la multiplicación. dx 2. y 2 72 x ( t + A t ) — x(t) _ Radicales 21 x.4 3¿ 170 M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS 2 - 4 = 2 -2 ^ 2 En este caso x = —9 es una solución aparente. y " = 2(2x2 + 1) e*a a) Sea — ¿Qué sucederá en el futuro con el ritmo de crecimiento de la pobla ción? entonces , ó x — 3 < ( « + 1) 2x> 2 . El siguiente teorema nos permite encontrar raíces de ecuaciones polinómicas, si conocemos factores del polinomio, o factorizar si conocemos las raíces. 1 4 = 4 £ 16 7. y = - j c + 4 - — O o 5 = 3 ln x —— ln x 18 a) -0 .9 9 1 f3 — | 2 Ji Gráficamente, un polinomio cuadrático representa una parábola. d = e7x+1 ------(2x + 1) dx ' ' Para cada caso encuentre lím F(x) = 7 *-*■3" n 0 13.1 Introducción ¿Es * conmutativa en Í2? d) (3) /48*3y 3 xy 3 1x + 2 ||< 5 A a + 1 se llama el sucesor de a. Las notaciones usuales … ( cX ~ ^ , p o r R 7 , La indeterminación en la expresión y EC UACIO N ES 11.5 x [a, a ) = \ x € R / x > a j Gráficamente, -4 x = 4 * = 0; Email. Matemáticas finitas. Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas. o) Cuando un banco ofrece un tipo anual de interés del r% y compone el interés más de una vez al año, el ^J^rés total ganado durante el año es mayor que el r% del saldo al principio del año. si, y sólo si, bn - a M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S Basados en la estimación de que hay diez mil millones de acres de tierra cultivable en nuestro planeta y que cada acre puede producir suficiente comida para alimentar a 4 personas, algunos demógrafos creen que la Tierra puede soportar una población de no más de cuarenta mil millo nes de personas. / JC — 3 \ ] = 2(—j f ' j_ jc2 X Addison-Wesley Iberoamericana. 2a + 21 — ¿A qué ritmo estará creciendo la población de la comunidad dentro de un año? -1 0 4) 1 X a = a b) El cambio en el valor de y, al pasar de y x a y 2, dado por y 2 — y j , se denomina incremento de y, y se representa por Ay. (A ^ S )n C fei = -1 .8 3 7 5 fe2 = 1.088 El único valor de fe a considerar es el valor positivo, ya que en el intervalo [—1.8375,1], f(x) sería negativo. 0 -3 -1 2 (1.0) + (-3 .1 ) (0.0) + (-1 .1 ) _ ( —2.0)+ (2.1) — TS 1 > 2 * —1 Encuentre el dominio y el rango de las siguientes funciones: 5 a) f(x) = ------------------------(* + 2 ) ( * - l ) b) f(x) = I jc2 I - 2 c) f(x) =- I" 28 Introducción al álgebra lineal. 3 a) POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES , podemos despejar “ y ” Aplicando logaritmo en ambos miembros se tiene, In 3 = In [e a04t] In 3 = 0.04í In e In 3 = 0.04f = t f~l (x) = t Lógica O B JE TIV O S 1 0 Conversión da grados a radianes y viceversa ° Ejemplo 15 Sea U el conjunto de todos los números peales: entonces, algunos de los elementos del conjunto solución de y = 3* + 2 son: ( - 2 , - 4 ) , ( - 1 , - 1 ) , (0, 2), — 5* + 6 < 0 c) Resolver ejercicios con expresiones algebraicas cuyos exponentes sean números enteros positivos, negativos y fraccionarios. z = 1 a 22 0 3. Recuerde que: 1. 3 si (2V á ) 2 ~ { V b ) 2 Tabla 2.3 j) dx f (4.6) 2 6. a ± b es la conjugada de a ± b 5.7 Resuelva los siguientes ejercicios sobre variables relacionadas (razón de cambio). ii. a ( * — 3) (* — 2) * —5 ~w ~ : - • ] 0 4. Resolver problemas de aplicación de máximos y mínimos. lím F(x) —27 x-+3* 24. a) ' q) nivel de producción, x = 2000 68 3 V3 c) + 6x2 — 7 x —■1 1 entre S(x) ~ x — 3 (15+ a2 y 5)2 (x+ 2)3dJc V 2 A ' = { x (alumno U.N) Ijc ^ al primer año} A DU = A A U U= U A O0 = 0 A^ 0 = A A n A ’= 0 A ^ A '= U Sí, porque la unión cumple la propiedad conmutativa Sí, porque la intersección cumple la propiedad conmutativa 353 — y * 5 + 1 S(*) = x + 3 (6.Í0) 3. 322 t 0. es claro que el valor de verdad de la proposición compuesta es verdadero. Fue introducida en Europa por los árabes, y en 1494 se publica en Venecia (Luca Pacioli) el primer libro de álgebra. x+ 4 Solución: En este caso * = 40,000 Ax = 8400 x + Ax = 48,400 a) 4x2 2 + 7 oh + o/».. « y = bx *2 + 1 X X entonces, 6 - 3 = 3 5" 1 Reducción de términos semejantes (5 ) Los cortes de la gráfica son; (1, 0) y (0, —2). k) Un fabricante de muebles produce mensualmente 80 escritorios que vende al doble de lo que le cuesta producirlos cada año. Ejemplo 1 Si f(x) = 3a2 , entonces F(x) = a3 es una antiderivada de f(x), ya que F'(x) --- (a:3) ' = 3o2 = f(x). ~ (~ 2) ± V ( —2)¿ - 4(1) ( -4 8 ) Nota: Siempre que estemosresolviendo ecuaciones especiales, sehace necesario verificar lassoluciones enlaecuaciónoriginal paradesechar las solucionesaparentes. [*(*) — f(x) ] da 1 c) 1 B = ~3~ 2 a) y Dichas combinaciones se logran mediante las operaciones suma, dife rencia, producto, cociente y composición de funciones, que se definen así: 1. La siguiente tabla muestra los diferentes conectivos de la lógica preposi cional con su respectivo nombre, símbolo, notación y lectura. asi que —7— = f (x) = 4 x + 5 y = g ( x ) = 9x? Asi, por ejem1 b e pío, 24-4-6 t 2 = ( 2 4 X - ) X — = 2. En este caso también hemos eliminado los radicales del denominador A la expresión y/W— y/E se le llama el conjugado de y/E + y/E . 3 y 2 = (4a4 — 3y2)2 — a4y 2 - (4a4 — 3y2 + a2y) (4a* — 3y2 — a2y ) 3+2 V J 2. 19. a) x = 11.5524 b) x = 0.577622 c) x —0.402359 115 . 64 4x2 4x2 + 3 x + 2 z= x 2 + 12x + 11 Grupo Editorial Iberoamericano. Definición de inverso aditivo g) Continue Reading. a) Desde el suelo se dispara un proyectil hacia arriba con una velocidad ini cial Va = 50-^- . ~20X - A2 - Ejemplos de esta situación tienen que ver con depreciación de maquinaria, desintegración de sustancias radiac tivas, etc. 2x + y 2 > / 2 - V 3 + y/8 -3 4. Utilizando la definición de derivada, calcule y' para cada una de las si guientes funciones: t » 231 años r . ' 6 Al remplazar obtenemos la expresión 1 x — J- dx + v* = 1 a) V b) F gl v a; v + El fabricante desearía elevar el precio y estima que por cada $80 pesos de incremento en el precio se venderán 1000 bombillas menos cada mes. A continuación se resuelve la ecuación que queda. 2. X Au R5 Los números reales tienen un elemento neutro multiplicativo único, el uno. 3. 1 V2 8 V b e , con c + 3. Ejemplo 11 El ingreso mensual por publicidad de cierta revista es R(x) = 56,000 + 1050* + 0.17 ó*2 pesos, cuando se venden x revistas. Si a > b y c < 0, entonces a • c < b • c Propiedad de la adición Si a, b y c son números reales, y si a > b, entonces á + c > 6 + e. Demostración: Si a > b, entonces a— b > 0 (definición), luego a — b + (c — c) > 0, entonces a + c — (b + c) > 0, por lo que a + c > b + e. Ejemplos: Como 6 > 2, entonces 6 + 3 > 2 + 3 9 > 5 1 1 3 1 1 3 Como — < — , entonces------------- < ----------3 4 3 6 4 6 4 a6' 2 = a4 13 Una firma de plásticos ha recibido un pedido del departamento de recrea ción de la ciudad para fabricar 8000 tablas de polietileno para su progra ma de natación en verano. 112 Función exponencial 3. 12.10 Derivadas de orden superior Primero obtenemos el 1 de la primera columna. x 2 (x + 4) es el m. c. d. de 2x b) Ejemplos 5 3. 8 Figura 3.6 Representación de los irracionales. (2 sfx T ~ Z f = (1 + x)2 - > - 9 a) En el caso f'(c) = 0, f presenta un máximo o mínimo local en c, esto es, f(c) es el valor mayor o menor de un intervalo que contiene a c (véase Figura 13.1). Paso 2: Primera derivada y puntos críticos El siguientediagramailustrael procedimiento aseguir parasolucionar cualquierecuacióndegradomenoroigual a2. — f Df =(-, 2] U [3,oo) 1. 4_ 2 32 1 WebFundamentos de matemáticas universitarias. 1 4JC2 - 2 5 j c + 36 33 Es posible que el mismo varíe un poco de un texto a otro. Recuerde que: 1. El hecho más importante en la representación es que a cada punto de la recta corresponde un número real, y solamente uno, y que a cadá número real corresponde un punto de la recta y solamente uno. El cálculo de una integral definida se realiza mediante la siguiente defini ción: Definición de integral definida Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces, b a 4. Recuerde que: 1. 206 15Decimos que no existe, en el sentido de que no es número real. f) (no tiene inversa] 9-V 47 i Resuelva: x 2 — 10* + 25 =*= 0 a = 1, b = —10, c = 25 + 10 ± V 100 _ — 4* (25) Tabulando, -2 c) = *2 — *i = *ÍP2 ) — * (P i) y ‘ / Figura 13.3 Concavidad de una curva. 7^7 - 3 A . Ahora, a * (b * c) = a * [ (6 + c) + (b X c) ] = a + [ (b + c) + (b X c ) ] + a X [ (b + c) + (b X c) ] (a + b + c + b X c ) + o X ( b + c ) + (a X b X c ) ( f ) Como 1 x= 3 Para realizar la gráfica de una función construimos una tabla en donde se muestran algunos valores de x y y. Para la construcción de la tabla asignamos a la variable independiente algunos valores del dominio, y encontramos el co rrespondiente valor para y por medio de la definición de la función. Ax 110 1 M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S b) Si la política de la tienda es hacer un pedido en el momento en que tenga en depósito 336 artículos, ¿en cuántos días deberá hacer un nuevo pe dido? Sea S el conjunto de los números reales R. Entonces, la adición y la multiplicación son conmutativas en R porque, para todos a y b, a 1 | • | y | k) i Cubo de una suma o una diferencia de dos términos (a ± 6)3 = a3 ± 3a26 + 3 a 6 2 ± 63 2*+3=0 Ü Paso 4: 0.5161 * —3 x 2 + 2 * — fe La suma entre matrices de orden diferente no se puede realizar. = (6.11) M A T E M A T I C A S U N IV E R S IT A R IA S equi 253 3‘ a) ~23~km/h; i r c) Ejemplo 2 ¿Cuánto mide en grados un ángulo de un radián? = —3x 8-5 y 2*sz 5-3 = --3x 3y 3z 2 5 k_3 0-2 = — m 2 n 3d° 2 2 Polinomios lineales (La recta) 225 20. i PVP«-»P 1 - 7 JC V = (b + Ejercicios y problemas d> 6.10 —2 x x+ 2 f 168 v f f f 2 >/* luego Una vez puestas a punto las máquinas, la operación es totalmente automática y puede ser controlada por un único supervisor de producción, qué gana $400 pesos por hora. . —< \3 Ésta es la razón por la cual no solamente unos cuantos individuos dedican su vida a ella sino que es materia de estudio en el sistema educativo y parte de la escena social. 2** + * 3 + * 2 + * — 1 = 0 1 o -7 -1 b) r jc -» a ln \fa = Entre los matemáticos que niás se destacaron en el trabajo de funciones está Leonard Euler (1707 - 1783), a quien se debe la notación y = f (jc). 165,000* - 15,000fe2 = 0 ( n - f e ) . McGraw-Hill. x = 3 (solución aparente) 296 2 c) a i2 *=2 15 1 4. y = 3* — 2 ; y = 3* + 2 5. Los otros números del renglón 3 corresponden a los coeficientes del co ciente, cuyo grado será uno menos que el grado de P(x), Por tanto Q(je) = jí4 — 5.x3 — x 2 + 3jc + 2 y JL 7 1 (n—fe+1) (n—fe). 20,000A*— 0.2 (2*A* + (A*)2) A* z = —6, luego y + ( - 6 ) = 3; y = 9 * + 4(9) + 3(—6) = 10; ]u [8 ,~ ) B = — i 2. 5 Sean A = { —1, n , 0| ( jc — 1,200,000, luego 2 1 Lím f(x)± x x1 —x —2 = (4-5) — (—2*7) 75,000 - 33,750 V F + 7 9 "+ V I F 2 ( V 6~)2____________ 12 si a — b > 0. A = -7 V . 9a2 26 Capítulo 9 1. a) —y2 = 3 2.94 < 23 de donde 22 < x < 46. \y = - C, = C e Demostrar que p-*-q«—► ' ^ p V q . Términos semejantes f * 4 - y 4 = ( * 2 + y 2) ( * 2 - y 2) 0 140,000 40,000 b) '- 1 C M A T R IC E S . Racionalice el denominador: Va~+ \fb 3 V - 3 ± V 9 + 4(4) (8) ---------------------------------8 -1 e) - 3 Ai 9 + s/—4T Resuelva las siguientes ecuaciones. V La gráfica muestra el área bajo la exuva. V * + Va Puesto que el cero carece de inverso multiplicativo, la división por cero no está definida. WebMatemáticas básicas. y (—15 + 2.8 x2 + 5*+ 6 ►•2— 1 Ejemplo 22 Resuelva (1) + Larson - Hostetler. f 3 x ± dx + '1 i = 1: Es necesario definir 0! Observe que a medida que crecen los valores de x , las imágenes crecen tam bién. En este caso uti lizamos la siguiente disposición: ________ -5 _______ x = Esta función inversa se denomina función logaritmo y se define de 1 siguiente manera: Definición: Si a > 0 y a =/= 1, entonces log x - 6 si, y solamente si, o* = *. Si a es igual á cero desaparece el término en a2 y la ecuación ya no es de segundo grado. 1 c) A* T Larson-Hostetler. LOGICA 25 El conjunto A se denomina dominio de la relación y el conjunto B el rango22 de la relación. El carbono 14 hace parte de la composición química de todo ser vivo (al igual que el carbono ordinario). Decimos que una gráfica es cóncava hacia arriba si la gráfica queda por arriba de sus rectas tangentes, en caso contrario, decimos que es cóncava ha cia abajo. p 19. 133 b) Emplee la tabla para calcular 1 s (m s n) c) 124 13" 345 Si está entrando agua al tanque a razón de 809 m3 /seg, calcule la razón de cambio, del radio de la superficie, cuando éste es de 3 m. Paso 1: Por geometría sabemos que el vo lumen de un cono es V = — 3 ~ t — 'V q Ejemplos x2 — 1 X + 24 b) 6.11 o b M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S FU N C IO N E S E X P O N EN C IA LES V LO G A R ITM IC A S y = 9 127 1 f(x)= F (b )-F (a ) 3 35Algunos autores la llaman convexa arriba o convexa abajo. f Ecuaciones com o: 4 0 * + p = 1400 1 3xy — 2 * — + ó y Al finalizar el presente capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. 1 calcule A 2 — / 2. b x + 2 = g(2) = 4 , ¿Cuántas unidades produce cada uno cuando trabaja sin compañía? En forma de intervalo, (— « , 1] . la primera columna de C7, y luego sumar dichos productos, así: = 1 2. 2 3 s) Dada la función de costo c = * 3 — 6 * 2 + 13*. b ± \/b2 — 4ac 2a Después, trace la gráfica de las dos rectas y verifique gráficamente la solución. El símbolo radi cal lo utilizamos para representar la operación conocida com o radicación, que como veremos en este capítulo es la operación inversa de la potenciación; de estas dos operaciones estudiaremos sus propiedades y la relación entre ex ponentes y raíces, de tal forma que complementemos el estudio de las expre siones algebraicas. Resolviendo la ecuación de una variable se obtiene: 20 — 5.x = 9 * + 6 14jc = 14 x = 1 Ahora remplazamos el valor de x en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2) f(x) dx = 1 a McGraw-Hill. La gráfica de la función y - 2* aparece en la Figura 11.1 y Esta relación se llama propiedad distri butiva de la multiplicación sobre la adición. 333 e(* + A*) — c(x) ^x 1,200,000 8 a) p = 3a + 10; p = 130 — x b) 5p — 3a = 910; 3p + 2 x = 660 2 3 c) — = 10a — 400 = 0; p + ------- 1,230 = 0 3P 4a Aria, Jagdish. dv 5 1 d) r = ------ = cosec 9 204 1 + 5 (8) g compuesto f: (f o g) (*) * f(g(x)), en donde el dominio de (f o g)(a) es el conjunto de las x tales que g(x) está en el dominio de f. V Ejemplo 3 Determinar la ecuación de la recta cuya pendiente e s En todos los casos anteriores, los números reales a y 6 se denominan e x trem os del intervalo. X. Ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas 349 x —2 3 x —2 1 7.5 Cálculo aplicado para administración, economía, contaduría ciencias sociales. Realice las gráficas de: a) y = 10 + e* 5, si x = 2 Calcule dy como la altura de vuelo del avión es constante,— ** = 0, por lo que dt x / Este coeficiente se denota por ( l o por C* y Sé llama “ coeficiente del t w binomio” . 1 M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS 2 11. Calcular los siguientes límites x7 — 4 a) Lím x —2 x-*- 2 b) Lím x-* 3 c) Lím x -»■ 1 d) Lím x-+ 0 e) Lím *-*■4 Simplifique: a) v /64x4y ' y En general, para representar números racionales cuyo denominador es el entero q ¥= 0, dividimos la unidad patrón en q partes iguales ( véase Figura 3.5). r = 4-— Larson-Hostetler. 3. 3. 4xy {%/ZTlc + y / 2 ) Diferencia de funciones (f —g ) Producto de funciones (f 'g ) / f \ Cociente de funciones ( — ) \g j Composición de funciones: Introducción al nivel universitario, es un libro que busca apoyar a los escolares del último año de secundaria, a los postulantes a la universidad … I -3 + x 2, i = b) (y3 x 1) (—3 x 1 y ”3 ) -3 (2 x~2 y 5 )2 c) 1.99 El francés Vieter fue el primero en introducir letras para representar nú meros de tal forma que cualquier razonamiento particular tomata carácter general. T Podemos decir, por tanto, que el exponente es el número que indica las veces que la base se toma como factor. X •X y 3 V S r + 5s2 x+ y x 2 + 2y En una expresión algebraica cada una de las partes separadas por un “ sig no más” o por un “ signo menos” se denominan términos de la expresión algebraica. El conjuntq B se denomina el conjunto de llegada de la función. 8. (x + 5) ( jc —2) -i-[(2^)+(vr:,-vr)][7-4vs"] , si = L A IN T E G R A L WebInforme de seguimiento de la educación en el mundo, 2020: Inclusión y educación: todos y todas sin excepción 2) = haincluido 2 en la solución ya que para x = 2; (x —2)2> 0. Ejemplo de aplicación Suponga que en una panadería se elabora pan integral y francés, para lo cual se utilizan los siguientes ingredientes: harina (H), levadura (L) y huevos (£). —40 3 12^3 1 ~2 ¿Cuántas personas tenían la enfermedad inicialmente? V Si a es el número de ejemplares ofrecidos o demandados de un cierto artículo a un precio p, entonces las siguientes ecuaciones representan respec tivamente la oferta y la demanda del artículo al precio p. x = a — bp (demanda) 3 / si f(x) = r 2x] 1 simplificado : a? a) Si * = + , entonces (3, 4) -* 7 que usualmente escribimos 3 + 4 = 7 b) Si * = X, entonces (2, 5) -*■ 10 que escribimos 2 X 5 = 10 c) Si * = —, entonces (2, 5) ¥= (5, 2) dado que 2 — 5 ¥= 5 — 2 d) Si * = —, entonces (7, 10) -►—3. Después de 15 años el dinero se ha triplicado. 2. a) x = Dividiendo entre 7 la segunda fila. 1 >— 2 Ejercicios y problemas + M A TE M A TIC A S UNIV E R SITA R IA S Encontrar el dominio y el rango de una función. así dispuesto, es una matriz. que es lo que queremos: el coeficiente dé x n en el desarrollo de (1 + x)n es 1. 3 2. x = 7.389056 x=4 Signos de agrupación Arquitectura. ... (5.18) X3 d puntos de inflexión Ejemplo 6 Cierta fundación debe invertir 6 millones de pesos en dos tipos de bonos que pagan dividendos anuales del 8% y 9% , respectivamente. = 35p - ^ 1 40 1 V2 a) Renglón 3 Calcular la integral de algunas funciones utilizando las reglas apropiadas. La función logaritmo cumple, entre otras, las siguientes propiedades, las cua les facilitan el trabajo, transformando ciertas operaciones en otras más sim ples: 1. p h) ¿Por qué la sustracción no es conmutativa en los números reales? a) (x — h)2 = 4a (y — fe) En la ecuación anterior, la expresión a la izquierda de la igualdad se de nomina la integral indefinida de f, f(x) se denomina el integrando y dx indica que x es la variable de integración; mientras que en la expresión de la derecha c se llama la constante de integración. 4.a) Tercera derivada: g) pVq . (—1) X a = —a 5 x V — 2 En la siguiente demostración hay un “ único error” . = x •p x = -2 _7 20 ° 12 1 ( * + 3) ( 3 * - 1) Determine la ecuación de la recta, dadas las siguientes condiciones: a) Pasa por Las ecuaciones resultantes son: 7y — 5z — 29 = 0 5y — l l z — 43 = 0 A continuación eliminamos y, entre la primera ecuación y la segunda del nuevo sistema, obteniendo: *-3 = 0 Ejemplo: Son expresiones algebraicas 7 7 Ax 0 4. 1 300 b) 6 t-B )»' n) Una agencia inmobiliaria puede vender un edificio de 40 apartamentos a $14,000,000 cada uno. - X B sen p d) V j) f (&) + y - (*?) 0 1 2 + m n o 2 m = -----5 0 2 0 , y = J du Web3. -4ÍJC2 - v (—5)2 = V ÍF A X VT25 Decide entonces preparar él mismo la carne, teniendo en cuenta que para cada hamburguesa necesita sólo $60 de carne, pero para s (a3 )2 = a3 • a3 (a3 • dos veces com o factor) = (a • a • a) (a • o • a) (a3 )2 = a6 ii. 319 2.1 Como Ijcí > 0, entonces el rango de g es R* U {0 ) que coincide en este caso con el conjunto de llegada. Figura 8.8 Intervalo infinito a la izquierda, cerrado en b. 2 M . } , luego los posibles valores de fe son: _ V « ( t )" a ; c) a . 7r R 2 el volumen de una esfera de radio R. 1 ------ , d) y = (f • g) es continua en c. es continua en c, sig(c) ¥= 0. 2 10.a) ( - L l i V í o ) d) De esta manera f[f~ l (x) ] = x y r 1 [/'(*)] = * Ejemplo 21 Si f(x ) = 2 x + 3 , d) , (2 * + 5) _ (3 * + 2) = 1 ( 3 * — 1) (5 * + 2) 15 32 + (5 De los tres casos anteriores podemos concluir que para calcular el lími te de una función basta con remplazar el valor de a en f(x), siempre que ésto sea posible; en caso contrario, transformamos algebraicamente f(x) en 1 Si a y 6 son números reales y ai= b, entonces a2 + b2 > 2 ab. M A TEM A TIC A S U N IV E R S ITA R IA S 14 1 — ¿Cuánto ganará el supervisor durante la marcha de producción si se usa el número óptimo de máquinas? 8 * = 50 Paso 4: 60 4 producto de la fila 2 por 5, obtenemos: 1 y Una función donde el rango es igual al conjunto de llegada se denomina fun ción sobreyectiva. o) 4y Ac entonces Ac 11 Demuestre que el costo total se rá el menor si el tamaño de los cargamentos es tal que el costo de alma cenaje y el costo de pedido son iguales. < ( V ? 6 ecuaciones diferenciales zill vol 1 130913154356 phpapp01. -2 Al localizar los puntos en el plano, se tiene: Definimos los siguientes intervalos: a) (a, ó) y\ Los pasos a seguir para solucionar un problema de variables relacionadas son: a) Encontrar una ecuación que relacione la variable cuya razón de cam bio se ha de calcular, con otras variables cuya razón de cambio se co noce. y / I + l —V 2* — 3 x x+ 2 1) f Sea a * b = 2a + 36, entonces (3, 4) -* 18, que se obtiene así: (3,4) i) 3.a) 1 Ejemplos: 1. e) d) ¿Cuáles son las respectivas tasas de cambio para el costo, el ingreso y la utilidad? -1 Observe que: 3X3=9 La derivada de f con res pecto a x , f\ x), se define como * , , f (jc) < 3 Operaciones con expresiones algebraicas E CU ACION E S Observando y analizando los ejemplos anteriores, podemos concluir que: Teorema del factor 117 = (n — fe + 1 ) 1-2-3 También aquí llamaremos a S el con junto solución de P(*, y) = 0. En nuestro caso, com o y f\x) X 3 = * T y e R, entonces 4- Teoremas sobre los números reales Observe que ambos elementos de la fracción, fueron elevados a la misma potencia; 3 en este caso. 47 Ejercicios y problemas Referencias Hoffmann, Laurence D. Cálculo aplicado para administración, economía, contaduría y ciencias sociales. 1 x> a ó El logaritmo, como se verá, es la función inversa de la función exponen cial, la cual se emplea en la solución de muchos problemas de aplicación conocidos con el nombre de problemas de crecimiento y decrecimiento ex ponencial. X = 0 “i Teorías matemáticas, matemática aplicada y … H 0' 4.6 Figura 11.3 y = ex A y Calcule la derivada de: Figura 3.7 Representación geométrica del valor absoluto. . Sea f(x) = 6 -3 * ; V x> 1 f jc 0 0 Grafique las siguientes funciones, estableciendo con anterioridad su domi nio y su rango. Solución: R = x-p, luego R = x> !? Así: x 2m - (3y2 - 6a2 + 3b2) = 2m - 3y2 + 6a2 - 3b2 3. 2. y ” = -2 6) Efectúelasoperacionesindicadas: 4 7 a) 2 » a+ ■ 36+ 3 6- 2a 2 b) 5 a a—6 3* _ ** c) jc2+ 2x+ 1 ¿c2+ 4jc+ 4 3* 2 2 d) — — — - + tf+1 X x—1 e) 1-51 Teorema 1 3 5 _0 4 = Lím (3 * + 2) * -►3 Halle -2 f Cálculo y geometría analítica. 7 (3 0 0 km)* - (10.56 km)7 300 km 1965 1/ ^ A- = ✓ /V , Si f es una función racional f = — , entonces f es continua h para todo x. de su dominio. 1 + tang2 9 = sec2 6 cosec 6 = b) si y = f(x) • g(x), entonces f(x) g'(x) + f'(x) g(x) e) Derivada de un cociente f(x) A , g(x)f(x)-f(x)g'(x) si y = ------- , entonces y = ------------------------ ----------g(*V [*(*)]’ 9. El ingreso marginal se define com o el cambio en el ingreso total debido a dr un incremento de una unidad en la demanda, y se representa por——, luego, 6. De hecho, en este caso x = —2 no es una solución de la ecuación original (6.3), ya que al remplazar la x por —2, obtenemos denomi nadores iguales a cero.17 En este caso x = —2 se denomina una solución apa rente. 14 1 1 s( m s o) 0 Obtención de la primera derivada y de los posibles puntos críticos. / ctang udu = ln I sen u I + C LA D E R IV A D A velocidad media y la representaremos por V , así: Y _ 3 (-0 0 ,-1 3 )^ 1 (7 ,0 0 ) k^_ fe3 A '1 = a2\ aUa22—012021 V si J = 4 _ 20 y = 4 = 2 8.1 v - 1. No todos los números pueden expresarse como decimales infinitos pe riódicos; por ejemplo al número p 2 - l,400p + 400,000 = 0 resolviendo, p = 1,000 pesos p = 400 pesos Ejemplo 13 Un vendedor de hamburguesas está comprando la carne preparada por cada hamburguesa a $120. Ejemplo 17 Haga la gráfica de la ecuación 2 x — 5y = 0 Esta ecuación es un ejemplo del caso en donde no se encuentran dos pun tos haciendo cada variable igual a 0, pues si x = 0 2(0) — 5 y = 0 = > y = 0 si y = 0 4a — 7(0) = 0 =■>*= 0 Ambos casos dan lugar al mismo punto (0, 0). j 1 +— ^ Ecuaciones O B JE T IV O S 3 (y 5 + > /l') + c (4a2 - 3 b 2) - (lab + ó2) -(5 a 2 + 6ab + 1062) = 4a2 - 3b2 lab - b2 - 5a2 - 6aí> - 1062 = - a 2 - 14ó2 - 13aó El proceso de la adición se puede realizar convenientemente si se distri buye el trabajo en columnas de manera que cada columna contenga única mente términos semejantes. , (3**) = = 4. Resolver problemas de aplicación en modelos de crecimiento y decreci miento exponencial. NUM EROS Cociente de los signos, como en el producto. ¿Cuál es el incremento en los costos? 21 Tomemos por ejemplo en el intervalo(—5, 2), el valor 0; al remplazar en (a —2) (x + 5) obtenemos —10. 1 Solución de ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula i ✓ d; y = Recuerde que: 1. -1 0.5 e) f) = 0 -6 x~ 2 + 4x + 8 no son polinomios, ya que en la primera expresión el exponente ( j j no per tenece a los enteros, y en la segunda expresión el exponente —2 es negativo. f ( 8 ) = 2(8) + 3 = 16 + 3 = 19 = n j c " -1 a* + a2 = —- - (-1 ,- A (-4,0) _i1_ NUMEROS 48 Fernanda Salazar. . + M A TE M A TIC A S U N IV E R SITA R IA S El siguiente teorema presenta sus propiedades básicas. [ ( - 1 — 2-4)+(5-8* 2 )+ (1 -4 -3 )] 0 WebFundamentos de matemática: Introducción al nivel universitario (PDF) Fundamentos de matemática: Introducción al nivel universitario | Juan Egoavil - Academia.edu … 2.6 Argumentos lógicos Producto por un escalar Si A es una matriz de tamaño mX n, tal que A = (af/ ) y fe es un número real, entonces: K A = (X a//) -se - 8,6m^seg c (* = 20) = 400,000 + 160,000 + 10,000 - 4,000 + 150,000 c ( * = 2 0 )= 716,000 14.8 Definición 1: Sea y = f(x) una función, con JCj y jc2 un par de valores en el dominio de f, de tal forma que f ( x 1) = y ¡ y f ( x 2) = y 2, en tonces: 239 1 21 du dx 0 así: x x = 2 Email. 2x d x — í 52 1 01 0 1 0 j) y = — en este caso el m. c. d. es (* + 3) ( 3 * — 1), luego (2jc— 1) (3jc— 1) - e (í = 2) = 80.4 m 2 Ejemplo 22 Halle f'(x) 2 12 /n (a2 + l ) 3 A=B A=B ACB ACB A=B Pt = 116,000 Esto es, una población de P individuos que crece a una tasa del r% en ui tiempo t, (horas, meses, años, etc.) Primer semestre C) dB -------- k B dt . La derivada * —3 Observe que la definición de tasa de cambio coincide con la definición de pendiente entre dos puntos. El concepto matemático de continuidad está bastante relacionado con el concepto no matemático del mismo. Punto-pendiente Pendiente-intersección 13.4 Variables relacionadas: {razón de cambio) En distintas situaciones de la vida diaria, muchas funciones cambian con el tiempo y todas las variables que las componen. Además en la figura podemos ob servar que los triángulos son semejan tes, por lo cual es posible realizar una razón entre sus lados correspondientes, así: _5_ Matriz nula: aunque anteriormente ya la habíamos mencionado, una matriz mXn donde todos sus elementos son iguales a cero se denomina ma triz nula. 'Vp V q X a- a) en donde cada casilla debe llevar un signo (+ o —), de acuerdo con los valo res que toma cada factor en los respectivos intervalos. Ejemplos Efectuar los siguientes productos: x f V * 2 - 8 — v ^ é ^ í 'l L x2 - x + l J V denominador (de hecho no aparece), sino porque representa el cociente entre dos núme ros diferentes cercanos a cero. A P L IC A C IO N E S D E L A D E R IV A D A ta n g *+ tang y 1 — tang * tang y tang x — tang y 1 + tang x tang y d) [3 jc- 1 ] 8. 4 ■2a + 21 y S(a) = a + 3, entonces = y j 1/125 = -^ = 200 6 y = 1 ,2 0 0 se producirán 1,200 unidades de salchichón corriente. ( \fx )2 ~ ( Va )2 Para obtener el 1 de la segunda fila segunda columna, dividimos la segun da fila entre 3, así: = 4 4 ,1 0 0 - 4 0 ,0 0 0 - 1 0 0 0 A Veremos la importancia de descomponer en factores cuando tengamos que simplificar fracciones algebraicas o resolver ciertas cla ses de ecuaciones. El dominio de esta función es el conjunto de los números reales y su ran go el conjunto de los reales positivos. 80,000 + (3*4-3*2) Resuelva directamente: a) (o2 + 8) (o2 - 5) b) ( x + VT) ( a - V 2 ) c) U = X'p — (150,000 + 3602x - 0.02a2 ) M A TE M A TIC A S U N IV E R S ITA R IA S — x+ R4: V c) f(x) = (3x + 5)^ d) f(x) = e 2x e) f(x) = x e 3x luego un ángulo de un radián mide aproximadamente 57.3°, algo menor que 2)[1 X a] + [ ( - l ) X ü] = O X b una función g(x), tal que g(a) exista, y este valor g(a) sea el límite de la función inicial. 284 150 2 249 (120) = $29,880 15.000 + 60 (249) = $29,940 Ejemplo 14 Un vendedor sabe por experiencia que si vende sus revistas a $1,500 cada una, puede vender 800 revistas. Hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado. 2 Como R 6 x¥~y$ ¿Por qué la división no es conmutativa en los números reales? _1_ Intervalo abierto Si a y 6 son dos números reales con a < b, entonces el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b representan el intervalo abierto de a a b que denotaremos por (a, b )19, luego (a, b) = j . = x —3 180 EXPONENTES Y R AD IC A LES Disyunción = Ecuación pendiente-intersección Esta intersección es con el eje Y. 10. 147 Septiembre, 2010. La implicación (-»■) sólo es falsa cuando el consecuente es falso .3 Ejemplo 4 Construir la tabla de verdad de (p A ^ p) -►q 'V P punto de inflexión A P L IC A C IO N E S D E L A D E R IV A D A I -i (p V r) A (q V r) (« — fe)! M A T E M A T IC A S U N I V E R S IT A R IA S Como e > 1, entonces por el Teorema 2 la gráfica de la función f( x ) = ex es creciente, como se muestra en la Figura 11.3. + 4,492,000 que n xi 5. a) y = 2xex + La ecua ción anterior se denomina forma punto-pendiente. V En esta sección trataremos la derivada de estas fun ciones y algunas de sus aplicaciones. (6.1) se denomina fórmula para la solución de una ecuación cuadrática de la forma ax1 + bx + c = 0, en la cual los valores dea, b y c son respectivamente los coeficientes de la variable al cuadrado,la variable lineal y el término indepen diente. cortos animados en español, director de la ugel 09 huaura 2022, resolución de pleno derecho código civil peruano, que no hacer cuando tienes varices, aeropuerto de chiclayo salidas, requisitos para llevar un perro a españa desde perú, encuesta a la alcaldía del callao 2022, tipos de tiendas que existen, curso de power bi presencial, juegos florales 2022 premios, como usar pigmentbio sensitive areas, ternos para hombres para matrimonio, cuaderno de trabajo de comunicación 1 secundaria 2022, productos de belleza para mujeres, solicitud de constancia de posesión a la municipalidad, nissan versa 2021 precio perú, que especialidad elegir en medicina test, hijos de victoria ruffo en la madrastra, paisajes con figuras geométricas para secundaria, venta de perros boxer con pedigree en lima, diferencia entre mezcla láctea y leche evaporada, práctica calificada 2 química general remoto 2022, razon social de caña brava, clasificación de las constituciones según su origen, productos cristianos para vender, jales de unión comercio 2023, chifa costa nueva carta, mejores universidades para estudiar medicina en lima, juego de experimentos para niños, lugares para casarse en europa, ejemplos de equidad en el hogar, daniela misias pero viajeras, asentamiento humano nombres, cuentos clásicos con pictogramas, población penitenciaria perú, indecopi cusco dirección, noticias de hoy ayacucho hocicon, formulación de compuestos, cuaderno del profesor editable, tacu tacu con lomo saltado buenazo, situación significativa para el retorno a clases, mantenimiento de maquinaria pesada ppt, principales exportadores de guayaba mundiales, imágenes de marcianos de fruta, proyectos de departamentos en cusco, ¿qué es essalud y cuál es su función, cuanto tiempo sobreviven los espermatozoides en la uretra, dueño vende auto urgente por viaje, carro eléctrico para niños, oracionalización del esquema numérico, comunidad campesina en el perú, fisiopatología de la resistencia a la insulina, en que consiste la capitulación de ayacucho brainly, radiación ultravioleta, club universidad césar vallejo, anabel gutiérrez de que murió, derecho penal parte especial tomo ii, lugares turísticos de illimo, hiraoka tv miray 24 pulgadas, comprar kit cerveza artesanal, requisitos para matrimonio civil en perú, problemas de la identidad nacional, examen final de estadística inferencial utp, ¿cuál es el objetivo del acompañamiento pedagógico, regiones naturales de puno, precio internacional de la papaya, mango kent exportación, el primer ferrocarril unión lima, agricultura sostenible ejemplos, porque mi licencia de conducir sale bloqueada perú, crema rosa mosqueta avon para que sirve, importancia del derecho de obligaciones, trabajo remoto condiciones, sesderma para melasma, ente rector de la gestion integral de residuos solidos, vestimenta en qatar hombres, aplicación del método demostrativo: 4 pasos ejemplos,